Теория сфер
Добавлено: Пн окт 29, 2018 3:32 am
Теория сфер
Определения
Множества
Самым первым понятием, важным для этой книги, будет множество. Множество является первопонятием, его нельзя выразить через другие. Интуитивное значение множества – это некий набор объектов, объединенных по какому-либо признаку. Практически все науки рассматривают различные множества.
Нам бы хотелось использовать «хорошие» множества. Под «хорошестью» я подразумеваю, что элементы множества должны быть «одинаковой природы» в интуитивном понимании этого слова. Мы введем понятие «Сферы», которое будет основным понятием этой книги и которое и будет «множеством элементов одинаковой природы».
Определение Сферы я построю в два этапа.
Измельчение
Пусть задано произвольное множество M. Пусть:
1) Существует алгоритм, оперирующий в своей работе только с элементами множества M, который переводит любой элемент x в элементы x1,x2,…,xn, (n>=0) причем x1,… принадлежат множеству M.
2) Существует алгоритм, который по данным x1,x2,… позволит однозначно восстановить исходный объект.
Для простоты пара этих алгоритмов будет фигурировать далее в качестве «алгоритмов измельчения» — первого и второго.
Элемент называется атомом, если n в первом алгоритме для него равно 1.
Множество M* называется атомарным для M, если оно содержит все атомы M и только их.
Если M* атомарно для M, то, очевидно, что любой объект из M может быть представлен как (x1,x2,…), xI+ из M* – это обеспечивается обратным алгоритмом измельчения.
Что дает атомарное множество? Оно позволяет рассматривать элементы множества M как объекты, состоящие из некоторых «кирпичиков». Теперь объекты M будут одной природы, если удастся добиться одной природы кирпичиков.
Ясно, что в качестве алгоритмов измельчения можно выбрать тождественные алгоритмы, так что для любого множества существует атомарное множество.
Измерение
Помимо измельчения на атомы, полезно еще взять множества с какими-то одинаковыми атомами. Для описания «одинаковости» атомов используется понятие измерения.
Измерение состоит в следующем. Мы выделяем во множестве M некоторые элементы – эталоны. Затем, проводя какие-то операции, мы для любого элемента M находим одну или несколько числовых характеристик – собственно, проводим измерение. Так появляется первый алгоритм – алгоритм измерения. Но измерение нам нужно не абы какое, а такое, чтобы позволило измерить объект в точности – следовательно, должен существовать и обратный алгоритм – обратный алгоритм измерения.
На входе в алгоритм измерения, таким образом, имеется объект, после каких-то действий, оперирующих лишь с объектами M, возникают несколько чисел. Если ввести эти числа в обратный алгоритм измерения, можно получить исходный объект.
Не всегда можно выяснить величину меры абсолютно точно. Поэтому договоримся, что алгоритм измерения должен вычислять меру с любой наперед заданной точностью.
Алгоритмы измерения и эталоны объединяются под общим названием меры.
Понятно, что данная мера может и не измерять какие-то объекты. Так, легко выбрать в качестве меры массу (на множестве разновесных объектов). Тогда, скажем, объект «красный цвет» не будет измеряться этой мерой.
Безымянный
Определения
Множества
Самым первым понятием, важным для этой книги, будет множество. Множество является первопонятием, его нельзя выразить через другие. Интуитивное значение множества – это некий набор объектов, объединенных по какому-либо признаку. Практически все науки рассматривают различные множества.
Нам бы хотелось использовать «хорошие» множества. Под «хорошестью» я подразумеваю, что элементы множества должны быть «одинаковой природы» в интуитивном понимании этого слова. Мы введем понятие «Сферы», которое будет основным понятием этой книги и которое и будет «множеством элементов одинаковой природы».
Определение Сферы я построю в два этапа.
Измельчение
Пусть задано произвольное множество M. Пусть:
1) Существует алгоритм, оперирующий в своей работе только с элементами множества M, который переводит любой элемент x в элементы x1,x2,…,xn, (n>=0) причем x1,… принадлежат множеству M.
2) Существует алгоритм, который по данным x1,x2,… позволит однозначно восстановить исходный объект.
Для простоты пара этих алгоритмов будет фигурировать далее в качестве «алгоритмов измельчения» — первого и второго.
Элемент называется атомом, если n в первом алгоритме для него равно 1.
Множество M* называется атомарным для M, если оно содержит все атомы M и только их.
Если M* атомарно для M, то, очевидно, что любой объект из M может быть представлен как (x1,x2,…), xI+ из M* – это обеспечивается обратным алгоритмом измельчения.
Что дает атомарное множество? Оно позволяет рассматривать элементы множества M как объекты, состоящие из некоторых «кирпичиков». Теперь объекты M будут одной природы, если удастся добиться одной природы кирпичиков.
Ясно, что в качестве алгоритмов измельчения можно выбрать тождественные алгоритмы, так что для любого множества существует атомарное множество.
Измерение
Помимо измельчения на атомы, полезно еще взять множества с какими-то одинаковыми атомами. Для описания «одинаковости» атомов используется понятие измерения.
Измерение состоит в следующем. Мы выделяем во множестве M некоторые элементы – эталоны. Затем, проводя какие-то операции, мы для любого элемента M находим одну или несколько числовых характеристик – собственно, проводим измерение. Так появляется первый алгоритм – алгоритм измерения. Но измерение нам нужно не абы какое, а такое, чтобы позволило измерить объект в точности – следовательно, должен существовать и обратный алгоритм – обратный алгоритм измерения.
На входе в алгоритм измерения, таким образом, имеется объект, после каких-то действий, оперирующих лишь с объектами M, возникают несколько чисел. Если ввести эти числа в обратный алгоритм измерения, можно получить исходный объект.
Не всегда можно выяснить величину меры абсолютно точно. Поэтому договоримся, что алгоритм измерения должен вычислять меру с любой наперед заданной точностью.
Алгоритмы измерения и эталоны объединяются под общим названием меры.
Понятно, что данная мера может и не измерять какие-то объекты. Так, легко выбрать в качестве меры массу (на множестве разновесных объектов). Тогда, скажем, объект «красный цвет» не будет измеряться этой мерой.
Безымянный