Определения
Множества
Самым первым понятием, важным для этой книги, будет множество. Множество является первопонятием, его нельзя выразить через другие. Интуитивное значение множества – это некий набор объектов, объединенных по какому-либо признаку. Практически все науки рассматривают различные множества.
Нам бы хотелось использовать «хорошие» множества. Под «хорошестью» я подразумеваю, что элементы множества должны быть «одинаковой природы» в интуитивном понимании этого слова. Мы введем понятие «Сферы», которое будет основным понятием этой книги и которое и будет «множеством элементов одинаковой природы».
Определение Сферы я построю в два этапа.
Измельчение
Пусть задано произвольное множество M. Пусть:
1) Существует алгоритм, оперирующий в своей работе только с элементами множества M, который переводит любой элемент x в элементы x1,x2,…,xn, (n>=0) причем x1,… принадлежат множеству M.
2) Существует алгоритм, который по данным x1,x2,… позволит однозначно восстановить исходный объект.
Для простоты пара этих алгоритмов будет фигурировать далее в качестве «алгоритмов измельчения» — первого и второго.
Элемент называется атомом, если n в первом алгоритме для него равно 1.
Множество M* называется атомарным для M, если оно содержит все атомы M и только их.
Если M* атомарно для M, то, очевидно, что любой объект из M может быть представлен как (x1,x2,…), xI+ из M* – это обеспечивается обратным алгоритмом измельчения.
Что дает атомарное множество? Оно позволяет рассматривать элементы множества M как объекты, состоящие из некоторых «кирпичиков». Теперь объекты M будут одной природы, если удастся добиться одной природы кирпичиков.
Ясно, что в качестве алгоритмов измельчения можно выбрать тождественные алгоритмы, так что для любого множества существует атомарное множество.
Измерение
Помимо измельчения на атомы, полезно еще взять множества с какими-то одинаковыми атомами. Для описания «одинаковости» атомов используется понятие измерения.
Измерение состоит в следующем. Мы выделяем во множестве M некоторые элементы – эталоны. Затем, проводя какие-то операции, мы для любого элемента M находим одну или несколько числовых характеристик – собственно, проводим измерение. Так появляется первый алгоритм – алгоритм измерения. Но измерение нам нужно не абы какое, а такое, чтобы позволило измерить объект в точности – следовательно, должен существовать и обратный алгоритм – обратный алгоритм измерения.
На входе в алгоритм измерения, таким образом, имеется объект, после каких-то действий, оперирующих лишь с объектами M, возникают несколько чисел. Если ввести эти числа в обратный алгоритм измерения, можно получить исходный объект.
Не всегда можно выяснить величину меры абсолютно точно. Поэтому договоримся, что алгоритм измерения должен вычислять меру с любой наперед заданной точностью.
Алгоритмы измерения и эталоны объединяются под общим названием меры.
Понятно, что данная мера может и не измерять какие-то объекты. Так, легко выбрать в качестве меры массу (на множестве разновесных объектов). Тогда, скажем, объект «красный цвет» не будет измеряться этой мерой.
Безымянный
