Гримуар

Счет

«Он считает на пальцах». В наше время эта фраза звучит, по меньшей мере, двусмысленно, являясь намеком на не слишком блистательные умственные способности собеседника. А ведь когда-то счет на пальцах имел сакральное значение, и точное знание количества чего-либо само по себе являлось магией. Наше слово ритуал происходит от индоевропейского корня ри, означающего «считать, нумеровать» [2]. Ассоциация ри с «ритуалом» идет от обрядов, применявшихся для фиксирования времен года, уходя корнями в те эпохи, когда понимание закономерностей временных циклов и сезонов могло иметь решающее значение для выживания. Понятно, что наши далекие предки преуспели в этом занятии, иначе мы бы тут с вами не общались. Таким образом, можно принять как факт, что у всех нас есть некая наследственная способность к хронометражу и счету. Другими словами, у каждого из нас имеются способности к практической математике.

До того как числа стали записываться посредством цифр, применялись иные способы перечисления количества. Например, вырезались или выцарапывались зарубки на специальном куске кости (сохранилось множество экземпляров) или складывались в ряд камни (которые после этого разбрасывали), или происходил счет на пальцах. Санскритское слово, обозначающее данное действие — mudra (мудра), является близко родственным слову mudra, означающим символический жест рукой, чье воплощение можно увидеть у статуй богов и в сакральных танцах индусов [3]. Быть может, и у вас есть собственные «танцы» для пальцев, к примеру, привычка ритмично постукивать ими под музыку, тем самым невольно обозначая различные временные отрезки. Не произнося вслух: «Раз, два, три, четыре…» — вы считаете, используя, в данном случае, свое врожденное чувство ритма.

Рис. 4.Есть множество жестов mudra. Вот шесть из них, слева направо:

Дхармачакра («управление законом»), Витарка («доказательство»), Варада («даруемое милосердие»), Тар-джани («угроза»), Джнана («учение») и Абхая («без страха»)

Сложно представить, глядя на наши десять пальцев, систему счета, основанную не на 10. У нас имеются именно десять пальцев — и правда, что еще мы могли бы изобрести? Да, но люди, используя те же самые обычные человеческие руки, додумались и до иных вариантов. Читайте дальше.

Ноль и девятка

В 773 году нашей эры в Багдад прибыла дипломатическая миссия из северной Индии [4]. От Багдада до северной Индии — минимум 1500 миль. Подобные расстояния отнимали у наших далеких предков недели, а то и месяцы жизни, отсюда следует, что индийская делегация совершила невероятно тяжелое путешествие.

В состав этой делегации входил астроном/астролог по имени Канака. Несмотря на то что сейчас астрономия и астрология считаются антиподами, изначально их никто не разделял, причем индийские звездочеты считались особенно искусными в своем деле. Халиф аль-Мансур, арабский правитель, был настолько впечатлен познаниями Канаки в звездной науке, что сделал перевод с индийского на арабский нескольких из привезенных им работ. Эти переводы активно распространялись, копировались и переписывались (разумеется, вручную), изучались, обсуждались и осмыслялись арабскими астрологами, и в итоге, примерно 50 лет спустя, появилась оригинальная работа арабского математика аль-Хорезми. Текст аль-Хорезми под названием Китоб оль джам Валь тафрик би хисаб аль хинд («Книга об индийском счете») касался бывших на тот момент в диковинку индийских цифр, которые так впечатлили халифа аль-Мансура [5]. Аль-Хорезми давал детальное объяснение десятичной системы исчисления, девяти индийским числовым символам и «десятому символу, имеющему форму круга», который использовался «чтобы не путать порядок расположения» цифр [6].

Этим «десятым символом, имеющим форму круга», был Ноль. Вот одна из версий его происхождения. Раньше люди считали при помощи камешек, выкладываемых рядами на песчаной поверхности. Индийский термин для «сложных вычислений» — дули-карма — дословно означает: «работа с песком». Давайте положим камешки рядами, чтобы обозначить количество, а для вычитания уберем некоторые из них. Что останется? Разумеется, какое-то количество камешков, а также слабые отпечатки на песке. Теперь мы можем проверить свои вычисления, обращая внимание на отпечатки, оставленные камушками, которые уже убрали. Каждый такой след будет иметь форму слабо очерченного круга [7].

Но давайте вернемся в древнюю Аравию. Текст аль-Хорезми стал популярным в арабском мире, а затем в результате реконкисты из Испании попал в Европу. Хотя сами тексты, похоже, не распространились по остальной Европе, изложенные в них идеи быстро проникли в другие страны, и к началу XI века индийские цифры, в том числе и ноль, широко использовались на пространстве от границ центральной Азии до северной Африки и Египта. Без сомнения, различные варианты этой числовой информации распространялись не только через индийских астрологов, но и посредством просто прагматических людей, поскольку то, что подходило ученым и астрологам, было также полезно для купцов и счетоводов — для любого, кто использовал числа в практических целях. В конце концов, сокращенный вариант работы аль-Хорезми, называемый просто Арифметика, в 1126 году нашей эры был переведен на латынь, после чего быстро завоевал умы и вызвал жаркие споры повсюду в Европе.

Почему Арифметика произвела такой оглушительный эффект? Потому что она оперировала понятиями, неизвестными Европе: последовательным и простым способом записи цифр от 1 до 9, а также радикальным новшеством для заполнения места — ноль (рис. 5). Явление, которое мы называем «арабскими цифрами» (поскольку они попали в Европу в результате переводов арабских текстов) — на самом деле уходит своими корнями глубоко в историю Индии. Такие индийские астрономы/астрологи, как Канака, стали легендарными личностями, поскольку, кроме всего прочего, обладали превосходными математическими навыками, выработанными благодаря индийской системе счисления. Клинопись и римские числа подходили для письма, а камешки или пальцы хорошо работали для счета, но не слишком годились для математики. Астрологам были необходимы удобные для записи формулы, посредством которых можно было бы отображать сложные вычисления, и потому в своих попытках найти ясные и точные способы выражения чисел древние индийцы оказались на передовом краю астрологии, астрономии и математики.

Не все одобряли новый способ записи. «Количество», по их мнению, не могло быть тождественно «числу». Первое представляет собой нечто зримое, например, овцы или яблоки, тогда как второе, «число», не более чем изогнутая линия, накарябанная на странице. Особенно подозрение вызывали ноли: пририсуйте хвостик к 0 и он станет 6 или 9. Добавь нолей, и это приведет к тому, что 9 превратится в 90, 900, 9000 или во что-нибудь еще похуже. Потому нет ничего удивительного в том, что в XI веке Уильям Малмсбери, монах-историк, посчитал новомодные индийско-арабские цифры и в особенности надоедливый ноль «опасной сарацинской магией» [8].

Рис. 5. Ноль



Рис. 6. Счет до 9 но руке

Вернемся к счету с использованием пальцев. Для справки: вы можете сосчитать до 9 с помощью одной руки, используя пять пальцев и пространство между ними (рис. 6). Нечетные числа приходятся на пальцы, а на пустоты выпадают числа четные — то есть получается 5 нечетных, 4 четных числа — и это отлично работает. Китайцы верили, что четные числа приносят неудачу, а нечетные, наоборот, счастливые. Быть может, это поверье появилось потому, что четные числа приходятся на пустоты между пальцами. Пифагорейцы полагали, что четные числа являются женскими, а нечетные — мужскими, без уничижительного подразумевания удачи или неудачи [9]. Это половое различие могло обосновываться методикой счета чисел на человеческой руке: «мужские» нечетные числа приходятся на нечто выступающее, на пальцы, а «женским» четным — достались расселины между пальцами. Достаточно наглядно и убедительно.

Девятка имеет уникальное математическое свойство. Например, любое число, умноженное на 9, «упрощается» (путем сложения цифр) опять же до 9. Попробуйте проделать это с числами 18, 27, 36, 45 и другими, полученными путем умножения на 9, и в каждом случае вы получите искомую 9. Кроме того, эти числа являются цифровым палиндромом — 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 99 — то есть (за исключением парного числа 99) одинаково читаются как нормальным образом, так и задом наперед.

Есть другая старая хитрость под названием «изгнание девяток» [10], уходящая корнями, как минимум, в X век. Вернитесь к разделу «Использование этой книги» во введении и посмотрите на сумму, выводимую из даты 31 декабря 1950 и равную 1993. После упрощения эта сумма даст 4. Ту же сумму можно получить напрямую из числа 1993, просто сложив 1 + 3, то есть «изгнав», проигнорировав две 9, которые, в любом случае, обнулят друг друга на следующем этапе. Таким образом, девятки всегда уничтожаются, по крайней мере, это происходило каждый раз, когда я пробовала заниматься упрощением. И данное правило работает, вне зависимости от того, могу я его себе объяснить или нет.

Двенадцать

Посмотрите на одну из ваших рук. Указательный палец потому и называется так, поскольку мы используем его в качестве указателя направления. Но при счете на одной руке, именно большой палец исполняет роль «указателя» [11].

Кроме того, наши пальцы (исключая большие) состоят из трех фаланг. Большие пальцы-указатели могут дотянуться до каждой из них, что в сумме дает число 12 (рис. 7). Не использовали ли вавилоняне, у которых была шестидесятеричная система счисления, двенадцать фаланг одной руки, чтобы считать до 12 и пять пальцев другой дабы отслеживать, сколько раз они сделали это — 12, 24, 36, 48, 60?

Рис. 7. Счет до 12 но руке

Мы до сих пор покупаем яйца, а также некоторые другие вещи дюжинами. У нас 12 месяцев в году и 12 знаков зодиака, в футе 12 дюймов, так что это число имеет кое-какое практическое применение. По некоторым источникам, английское слово dozen (дюжина) происходит от слияния латинских «два» и «десять» — duo-decem. Другие относят его к древнему шумерскому слову, означающему «одна пятая от шестидесяти» [12]. Число двенадцать удивительно удобно.

Оно может быть разделено без остатка на 2, 3, 4 и 6; при умножении его на 2 получается такое число, как 24 (количество часов в сутках), на 5 — 60 (системы счисления, секунды, минуты), на 9 — 108 (мало буддиста или молельные четки), на самое себя, то есть на 12, — 144 (гросс [13]), на 30 — 360 (число градусов в окружности). Круги мы рассмотрим более подробно позже.

Четырнадцать

Теперь давайте продвинемся на шаг или на пару шагов дальше. При учете фаланг большого пальца мы получаем число 14 (рис. 8). В отличие от других пальцев, у большого пальца имеются только две фаланги.

Хотя 14 не является числом, которое с ходу приходит на ум, как в случае с «дюжиной», оно тоже употребляется достаточно часто. Английское слово fortnight, означающее 2 недели, буквально 14 ночей, является сокращением от fourteen-night (четырнадцатая ночь). До того как в Британии появилась метрическая система, под словом «стоун» подразумевался вес в 14 фунтов. Древние китайцы, ассирийцы, вавилоняне и шумеры считали до 14 по фалангам своих пальцев.

Рис. 8. Счет до 14 на руке

С числом 14 не связано такого количества ухищрений, как с числом 9, оно не используется столь часто, как 12, но зато число 14 издревле связывалось с Луной. Обратитесь к главе 2, дабы исследовать эту связь.

Пятнадцать и далее

Среди других старинных способов счета на руке имеют место быть индийский и бенгальский способы счета до 15 (счет до 14 плюс подушечка большого пальца), с помощью которого отслеживались 15-дневные «месяцы», каждый из которых равнялся половине лунного цикла. Двадцать четыре таких месяца составляли год из 360 дней. Мусульманский вариант счета до 15 предполагал использование обеих рук, что в сумме давало 30, а затем добавлялись кончики трех пальцев для получения числа 33. Трижды повторенное, оно подразумевало 99 имен Аллаха [14].

Беда Достопочтенный (673–735 н. э., монах, написавший трактат «De ratione temporum» — «О разделении времени») прослеживает важный лунный цикл, отсчитывая 19 лет с использованием фаланг и кончиков пальцев, фаланг и подушечки большого пальца на левой руке [15]. Этот цикл, названный «циклом Метона» (в честь Метона, афинского астронома, жившего в V веке до н. э.), показывает движения Луны, повторяющиеся каждый 19 лет, когда спутник Земли оказывается в тех же фазе, знаке, градусе и склонении именно в тот же день месяца, что и 19 лет назад [16].

В качестве впечатляющего примера вот данные по полным лунным затмениям в 1991 и 2010 годах [17]:

21 декабря 1991: Луна в 29° Близнецов, склонение 24° N

21 декабря 2010: Луна в 29° Близнецов, склонение 24° N

Кости: перст судьбы?

У игры в кости, или в «костяшки», дурная репутация, но логически она связана со счетом на пальцах [18]. Самые ранние кости были в самом деле костяшками — грубыми кубическими костями лап и пальцев различных животных. Они назывались astragali (по имени богини справедливости Астреи) и использовались как для азартных игр, так и для принятия важных решений, например для дележа наследства или доходов от храма или даже для выбора членов правительства. В Платоновых геометрических телах Землю символизирует куб. Это повелось с тех древних времен, когда кость кубической формы влияла на земные, практические явления.

Ассирийцы первыми сделали глиняные костяшки, имеющие более четко выраженную форму, чем кости естественного происхождения. В северной Европе изобретение костей приписывалось мудрому Одину (Вотану), богу мудрости и прорицания. Английские слова lot (участок земли), lottery (лотерея) и allotment (распределение) ведут свое происхождение от жеребьевки, осуществляемой броском костей. «Бросить жребий» («cast your lot») означает рискнуть собственной удачей и шансом, используя кости.

Английские слова — die (кость) в единственном числе, dice (кости) во множественном — происходят от позднелатинского dadus, что означает «данный», в смысле «данный богами» [19]. Шанс, выпавший на костях, не рассматривался как случайность: выигрыш был знаком того, что боги благоволят победителю.

Эти языческие ассоциации явились основанием для церковного осуждения костяшек как еще одной из бесчисленных игрушек дьявола. Но почему же вопросы церковной прибыли, наследства и распределения правительственных мест по-прежнему решались по прихоти этих языческих божеств?

Кстати, кости не обязательно выглядели в виде шестигранных кубиков. В египетских захоронениях были обнаружены восьмигранные кости-октаэдры (интересно: октаэдр представляет собой две пирамиды, соединенные основаниями), а кости в виде додекаэдров (двенадцатигранников) и даже икосаэдров (двадцатигранников) иногда использовались ранними прорицателями. Быть может, причина заключалась в соответствующих платановых ассоциациях с бесплотным Духом и эмоциональной Водой или же это просто являлось уловкой ловких прорицателей, желавших обилием возможных вариантов привлечь к себе максимальное число клиентов.

Вот двадцать одна возможная комбинация выпадения пары кубических костей:

1-1, 1–2, 1–3, 1–4, 1–5, 1-6

2-2, 2–3, 2–4, 2–5, 2-6

3-3, 3–4, 3–5, 3-6

4-4, 4–5, 4-6

5-5, 5-6

6-6

Сложите все точки на одной кости — 1 +2+3+4+5+6 — и получите 21.

Математика для мистиков. Тайны сакральной геометрии
Шессо Ренна